Удоб­но пред­став­лять себе вер­ши­ны пра­виль­но­го ок­та­эд­ра как цен­тры гра­ней куба. Тогда из усло­вия сле­ду­ет, что рас­сто­я­ние между про­ти­во­по­лож­ны­ми цен­тра­ми гра­ней равно ребру куба, то есть

Рас­смот­рим те­перь ребро ок­та­эд­ра  — от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий цен­тры смеж­ных гра­ней куба. Пусть M, K, N  — се­ре­ди­ны ребер A₁B₁, AB и CD со­от­вет­ствен­но. Пусть также O₁ и O  — цен­тры гра­ней A₁B₁BA и ABCD. Тогда OO₁  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка KMN, по­это­му По­сколь­ку и A₁M па­рал­ле­лен AK и DN, точки A₁, M, N, D яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма.

Итак,

Зна­чит, по­верх­ность ок­та­эд­ра, со­сто­я­щая из вось­ми рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков со сто­ро­ной имеет пло­щадь

Ответ:

Удоб­но пред­став­лять себе вер­ши­ны пра­виль­но­го ок­та­эд­ра как цен­тры гра­ней куба. Тогда из усло­вия сле­ду­ет, что рас­сто­я­ние между про­ти­во­по­лож­ны­ми цен­тра­ми гра­ней оно равно ребру куба, то есть

Рас­смот­рим те­перь ребро ок­та­эд­ра  — от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий цен­тры смеж­ных гра­ней куба. Пусть M, K, N  — се­ре­ди­ны ребер A₁B₁, AB и CD со­от­вет­ствен­но. Пусть также O₁ и O  — цен­тры гра­ней и ABCD. Тогда OO₁  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка KMN, по­это­му По­сколь­ку и A₁M па­рал­ле­лен AK и DN, точки A₁, M, N, D яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма.

Итак,

Зна­чит, по­верх­ность ок­та­эд­ра, со­сто­я­щая из вось­ми рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков со сто­ро­ной имеет пло­щадь

Ответ: